Та самая задача с параметром

📑 Задание

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых
наибольшее значение функции $f(x) = |x - a| - x^2$ не меньше 1.

📑 Решение

1)
$x - a \geq 0 \iff x \geq a$
$f(x) = x - a - x^2$
$f\prime(x) = - 2 * x + 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}$
$f\prime\prime(x) = - 2 < 0 \implies f(\frac{1}{2}) = f_{max}$
$f_{max}(a) = \frac{1}{2} - a - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} - a$
$f_{max}(a) \geq 1 \iff \frac{1}{4} - a \geq 1 \iff a \leq -\frac{3}{4}$
2)
$x - a < 0 \iff x < a$
$f(x) = - x + a - x^2$
$f\prime(x) = - 2 * x - 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$
$f\prime\prime(x) = - 2 < 0 \implies f(-\frac{1}{2}) = f_{max}$
$f_{max}(a) = -(-\frac{1}{2}) + a - (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + a$
$f_{max}(a) \geq 1 \iff \frac{1}{4} + a \geq 1 \iff a \geq \frac{3}{4}$

📑 Ответ: $(-\infty; -0.75] \cup [0.75; +\infty)$