Три окружности

📑 Задание

Точка $B$ - середина отрезка $AC$, причем $AC = 6$.
Проведены три окружности радиуса $5$ с центрами $A$, $B$ и $C$.
а) Докажите, что существует ровно шесть окружностей, касающихся всех трех данных.
б) Найдите радиусы всех таких окружностей.

📑 Решение

а)
Центры трех окружностей $A,B,C$ располагаются на одной прямой и
не касаются друг друга ни внешним, ни внутренним образом, значит
построить какую-либо окружность, касающуюся всех трех данных
только внешним или только внутренним образом, невозможно.
Случай касания двух окружностей внешним образом и одной - внутренним
возможен только при внутреннем касании с окружностью с центром в середине отрезка.
Остаются только 3 случая касания для окружностей с центрами $A,B,C$ соответственно:
• внутреннее, внутреннее, внешнее;

• внешнее, внутреннее, внешнее;

• внешнее, внутреннее, внутреннее.

В силу симметричности построений относительно отрезка $AC$
общее число касающихся окружностей будет равно 6.
б)
Пусть $x$ - радиус одной из искомых окружностей,
тогда расстояния от центра этой окружности до $A,B,C$ равны
$x + 5$ (внешнее касание) или $5 - x$ (внутреннее касание).

I. Окружность с центром $O_2$.
$\triangle ABO_2: AO_2^2 = AB^2 + O_2B^2 \implies (x + 5)^2 = (5 - x)^2 +3^2 \iff 20 * x = 9 \iff x = 0.45$
II. Окружность с центром $O_1$.
$\triangle ABO_1: AO_1 = BO_1, O_1D \bot AB \implies AD = DB = 1.5 \implies CD = CB + BD = 4.5$
$\triangle ADO_1, CDO_1: DO_1^2 = AO_1^2 - AD^2 = CO_1^2 - CD^2 \implies CO_1^2 - AO_1^2 = 4.5^2 - 1.5^2 = 3 * 6 = 18$
$CO_1 = 5 + x, AO_1 = 5 - x \implies (5 + x)^2 - (5 - x)^2 = 18 \iff 20 * x = 18 \iff x = 0.9$
III. Окружность с центром $O_3$ - аналогично $O_1$.

📑 Ответ: 0.45; 0.9