Система логических уравнений

📑 Задание

Сколько существует различных наборов значений логических переменных
$\displaystyle{x_1, х_2, ..., х_9, x_{10}}$,
которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, х_2, ... х_9, x_{10}$,
при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.
• $(x_1 \lor \neg x_2) \land (x_3 \lor \neg x_4) = 1$ (1)
• $(x_3 \lor \neg x_4) \land (x_5 \lor \neg x_6) = 1$ (2)
• $(x_5 \lor \neg x_6) \land (x_7 \lor \neg x_8) = 1$ (3)
• $(x_7 \lor \neg x_8) \land (x_9 \lor \neg x_{10}) = 1$ (4)

📑 Решение

1) Тождество $(1)$ выполняется только в случае,
если пары переменных $(x_1,x_2), (x_3, x_4)$ равны $(0,0),(1,0)$ или $(1,1)$.
Если хотя бы одна из пар $(x_1,x_2), (x_3, x_4)$ равна $(0,1)$,
то тождество $(1)$ не выполняется.
Всего получается $9$ наборов переменных $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, удовлетворяющих $(1)$:
каждой из $3$ пар $(x_1,x_2)$ могут соответствовать $3$ пары $(x_3,x_4)$.
2) Тождество $(2)$ не нарушает ни один из 9 наборов переменных первого пункта,
при этом $(x_5,x_6)$ должны быть равны $(0,0),(1,0)$ или $(1,1)$.
Получится $9 * 3 = 27$ вариантов $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$.
3) Рассуждая аналогично, легко видеть закономерность:
добавление каждой пары переменных увеличивает количество вариантов в $3$ раза.
$10$ переменных образуют $5$ пар.
Значит, общее количество вариантов равно $3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 3^5 = 243$.

📑 Ответ: 243