Числа по кругу

Задание
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. 
Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получится так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Решение

а) Да 
10=2∗5 → 17=17∗1 → 12=2∗2∗3 → 13=13∗1 →
18=3∗3∗2 → 11=11∗1 → 14=2∗7 → 
15=3∗5 →16=2∗2∗2∗2 → 19=19∗1 → 
20=2∗2∗5 → 21=3∗7 → 10=2∗5

б) Нет
12 чисел, записанные по кругу в любом порядке, образуют 12 пар, для каждой из которых определяется наибольший общий делитель (НОД).
Если все 12 НОД различны, то наибольший из них не может быть меньше 12.
Для данного набора чисел  {10,...,21}  максимальный НОД равен 10: НОД(10,20) = 10.
Значит, не все НОД попарно различны.

в) 8
В наборе  {10,...,21}  содержится 4 простых числа  {11,13,17,19} , для них НОД с любыми другими числами всегда равен 1.
Если записать эти 4 простых числа подряд, то потребуется еще по крайней мере два соседних для них элемента из исходного набора:  {X → 11 → 13 → 17 → 19 → Y} .
Значит, не меньше 5 пар имеют НОД = 1 и остальные 12 - 5 = 7 НОД могут принимать другие значения.
Всего различных НОД для набора  {10,...,21}  не может быть больше 8.
Например:
НОД(10,20)=10, НОД(20,11)=1, НОД(11,13)=1, 
НОД(13,17)=1, НОД(17,19)=1, НОД(19,18)=1,
НОД(18,12)=6, НОД(12,16)=4, НОД(16,14)=2, 
НОД(14,21)=7, НОД(21,15)=3, НОД(15,10)=5.